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京都大学 前期 1964年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1964年 第4問 (解答解説)

📝 問題

放物線に，点から2つの接線をひき，それらの交角が60であるように点が動くとき，点の軌跡を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線 $y=x^2$ と点 $P(a,b)$ から引いた2本の接線

図 1: 放物線 と点 から引いた2本の接線

とし，に引いた接線の2接点を とおく．ただし とする．

より における接線は，

だから，これらの交点が であり，連立して

となる．したがって は

である．

さて，2接線のなす角 として 題意より or だから，

となる．一方で

だから，(式4)を代入して

となる．(式5),(式10)より

である．

ここで(式2)から が の2次方程式 の2実解であることから，

であり，(式2),(式12)を(式11)に代入して

である．両辺二乗して良く，

である．この時(式12)の条件も満たされるので，求める軌跡は

である．

点 $P$ の軌跡（双曲線）と放物線 $y=x^2$

図 2: 点 の軌跡（双曲線）と放物線

【別解】

2接線の接点を，その傾きを とする．これらの正負で以下の3パターンがあり得る． ただし

とする．

接点 $Q,R$ における接線の傾きの符号による3通りの配置

図 3: 接点 における接線の傾きの符号による3通りの配置

いずれの場合にも，これらのなす角 () は

で与えられ，いずれの場合も

となる． だから

を得る．

ここでだから , より

だから，(式19)に代入して

となる．以下は[解答]と合流する．

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