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京都大学 前期 1964年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1964年 第5問 (解答解説)

📝 問題

を数列とし， とおく．

  1. (イ)　すべてのの値について，が収束するためには， 数列がどのような条件をみたすことが必要十分であるか．

  2. (ロ)　(イ)の条件がみたされているときについて，和を求め， と 級数の和とを比較せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

与えられた数列の式に積和の公式を用いて

だから， とおくと

だから， が で収束する条件は

が収束すること．

である．

(ロ)

(イ)がみたされる時

とおくと，(式4)に代入しての極限をとると

となる．

従ってこれをで積分して

となる．

一方で

である．よって(式9),(式13)より であり，2つの値は等しい．

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