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京都大学 前期 1964年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1964年 第6問 (解答解説)

📝 問題

のグラフと軸とで囲まれた図形をとする． に含まれ軸上に1辺をもつ長方形および三角形と， に含まれ軸上に直径をもつ半円との3種の図形について， それぞれの面積の最大値を，，とする．

，，の大小関係をしらべよ．

✏️ 解答解説

【解答】

図形 $S$ に含まれる長方形 $A$，三角形 $B$，半円 $C$

図 1: 図形 に含まれる長方形 ，三角形 ，半円

で考える． まずの面積を個別に考えて，最後にそれらの大小を比較する．

長方形について

長方形の面積が最大になるのは，頂点のうちの二つが上にある時で， 頂点はと書ける () ． この時面積は

である．で微分すると

より，なるを取って，の増減表は以下のようになる．

0
0
極大

表 1: の増減表

ここで より である． (式1)でとして求める最大値は

となる．

三角形について

次にBについて， より のグラフは上に凸なので，Bは3頂点が の時の の面積で，

である．

円について

最後にCについて中心は原点である．半径 とすると円の方程式は

である．これがの下側にあれば良いから， 対称性から で

となれば良い．この左辺を とすると，一階微分は

で

より， は単調増加だから，(式6)を満たす は の時の となる．この時のの面積は

である．

以上(式3),(式4),(式8)をまとめて

である．そこでとの大小を比較すれば良いが，の増減表からであることとの表式がについて単調減少であることから，

より

である．以上から

である．

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