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京都大学 前期 1964年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1964年 第2問 (解答解説)

📝 問題

次の(i)，(ii)，(iii)の条件を同時にみたす，3つのたがいに異なるの3次式の組を，すべて求めよ．

  1. (i)　の係数はいずれも1である．

  2. (ii)　それらの最大公約数はである．

  3. (iii)　それらの最小公倍数はである．

✏️ 解答解説

【解答】

(i), (ii) から，3つの組を として，

とおける．ただし はいずれも最高次係数1の2次式である．

さて，(iii) の式を とおいてを因数分解すると

だから，これらの因数を に， 以外全てに共通な項がないようにふりわけれはよい．解答のため

とおく．

まず が に含まれることと が2次式であることから，このうちのいずれかが と等しい．対称性から として以下 を決める．対称性に注意し，は多くても1つしか に入らないことと，全てに共通な因数がないこと，であることからありうる組み合わせは

の2つである．

以上から，求める組は

である．

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