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京都大学 前期 1965年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1965年 第2問 (解答解説)

📝 問題

，は定数とし，は任意の正の値をとるものとする．

に関する2次方程式の根の一つが，の値に関係なく一定であるように，，を定めよ．

また，この場合，他の根はのどんな値に対して最小となるか．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた方程式

について考える．この根の1つを とすると，(式1)に代入して

となる．これがによらずに成り立つためには，この式が についての恒等式である． よって係数を比較して

である．(式1)に代入して与えられた方程式は

となるから，もう片方の解は

である．ただし最後の不等号では から AM-GMを用いた． 等号成立は の時である．

従って求める条件は(式4)より

であり，この時もう一方の解は の時に最小値 をとる．

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