京都大学前期 1965年第1問 (問題)

数学のテストのあとで，高校生の弟が，大学生の姉と次のような対話をした． □の中に適当な記号，式，あるいは語句をいれよ．

(弟)　きょう，学校で数学のテストがありました．命題がいくつかあって，正しいものに○印を，正しくないものには×印をつける問題でした．全部できたつもりです．
(姉)　それは，よかったですね．その中の一つをいってごらん．
(弟)　こんなのがありました．

「二直線，の交点は，がどんな実数値をとっても，円の上にある」

というのです．もちろん，○印をつけました．
(姉)　なぜ，これが正しいことがわかりましたか．
(弟)　(1)，(2)からを消去したら，(3)がでるからです．それでいいでしょう．
(姉)　結構ですね．しかし，この問題が本当によくわかっているかどうか，二，三質問をしてみましょう．まず，この命題に二直線とあるのは，もちろん平面上の二直線のことですね．では，はどういうものですか．
(弟)　は実数値をとる変数です． □，それに応じて，方程式(1)，(2)の係数がきまって，それぞれのあらわす直線がきまります． □，それに対応する二直線が動きます．
(姉)　ところで，二直線の交点とありますが，の値によっては，この二直線が□になることはないかしら．
(弟)　いや，それどころか，いつでも□します．
(姉)　どうして．
(弟)　□のときには，二直線の方向係数は，それぞれ□，□ですが，□ですから，□の条件をみたします．

□のときには，(1)は□軸と□し，(2)は□軸と□ですから，やはり，(1)，(2)は□します．

(姉)　うまく証明しましたね．では，本題にはいって，(1)，(2)からを消去して，(3)がでたことから，(1)，(2)の交点が(3)の上にあると結論したのは，どういう理由ですか．
(弟)　僕は，こういう問題は消去するものと覚えこんでいただけで，理由なんて考えてみたこともありません．教えてください．
(姉)　では，を消去したときに，(3)の左辺をどのようにして，(1)，(2)の左辺からだしたか，まず，それを式でかいてごらん．
(弟)　です．
(姉)　ここにあなたがかいた等式(4)は，等式(1)，(2)，(3)と性格がちがいますね．
(弟)　(1)，(2)，(3)は□式ですが，(4)は□式です．
(姉)　そのことを心にとめておいて，(1)，(2)の交点が，(3)の上にあることを証明しましょう．

$(a,b)$が(1)，(2)の交点であるとすれば$x=a$，$y=b$は□をみたす．

次に，いま注意したことから，$x=a$，$y=b$は，もちろん□をみたす．
この二つのことから，$x=a$，$y=b$は□をみたし，$(a,b)$が□の上にあることがわかる．

というわけです．

19. (弟)　なるほど，これで，消去の意味がよくわかりました．ところで，姉さん．がすべての実数値をとるとき，この交点は，(3)式の円をえがくのですか．

(姉)　この交点のえがく曲線は，幾何では，交点の□といいますね．これをとし，(3)式の円をとすると，いままで話しあったことから，はと□するか，またははの□であることがわかりますね．実際は，はから□を除いたものです．証明は，ゆっくりあとで考えてごらん．

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