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京都大学 前期 1966年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1966年 第2問 (解答解説)

📝 問題

  1. 平行四辺形が与えられている． この中に最大面積の三角形がはいっている． の位置について，次のことを証明せよ．

    1. 頂点，，は平行四辺形の周上にある．

    2. の少なくとも一辺は，平行四辺形の一辺と一致する．

  2. 面積が1の三角形は，面積が2より小さい平行四辺形の中には，はいらないことを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1) (イ)

点が辺上にない場合を考える．この時，半直線と四角形の交点をとすると， となるから，を新しく点とした方が三角形の面積は大きくなる．点にも同様の議論が適用できるから，面積が最大の三角形では は四角形の辺上にある．

内点 $P$ を半直線 $QP$ と辺 $AD$ の交点 $P'$ へ移したときの面積比較

図 1: 内点 を半直線 と辺 の交点 へ移したときの面積比較

(1) (ロ)

(イ)から，各点が平行四辺形の辺上にある場合のみを考えれば良い． のうち2点が同一辺上にある時は，その2点を頂点にした時が面積最大であり，この時の面積は

である．

$PP'\parallel AB$ としたときの $P,Q,R$ の配置

図 2: としたときの の配置

次に3点とも異なる辺上にある時を考えよう． 対称性から図のようにを辺上，を辺上，を辺上におく． を通り に平行な直線と の交点を とする．まず を固定して考える．

$R$ が $BP'$ 上にあるときの面積最大化（$Q\to A, P\to D$）

図 3: が 上にあるときの面積最大化（）

を底辺とみて， の時 は最大である． このもとで をうごかすと，を底辺と見て の時 は最大値 をとる．

が 上にある時

$R$ が $P'C$ 上にあるときの面積最大化（$Q\to B, R\to C$）

図 4: が 上にあるときの面積最大化（）

を底辺と見ての時に は最大である． このもとで を動かすと，を底辺と見て の時に は最大値 をとる．

以上から，いずれの場合の最大値もである． それぞれの場合での一つの辺はの辺に一致するから題意は示された．

(2)

(i)から，面積 の平行四辺形の内に入る三角形の最大面積が だから， の時は となり，面積 1 の三角形は入らない．よって題意は示された．

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