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京都大学 前期 1963年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1963年 第5問 (解答解説)

📝 問題

与えられた三角形において，，，とし，つぎつぎに相似三角形

を作っていく．

  1. (イ)　を限りなく大きくするとき，が定点に限りなく近づくための必要十分条件を，で表わせ．

「(イ)が成り立つとして，(ロ)，(ハ)に答えよ」

  1. (ロ)　の値は， の何倍であるか，それをとで表わせ． ここに，は面積を表わす．

  2. (ハ)　の値を求めよ． また，を固定したまま，を限りなく0に近づけたとき，はどんな値に近づくか．

✏️ 解答解説

【解答】

相似な三角形 $\triangle OP_0P_1 \sim \triangle OP_1P_2 \sim \triangle OP_2P_3 \sim \cdots$ を次々に重ねていく様子

図 1: 相似な三角形 を次々に重ねていく様子

初項の三角形 $OP_0P_1$ と角 $\theta$，$\alpha$

図 2: 初項の三角形 と角 ，

題意より と の相似比は，

である． ここで に正弦定理を用いて，

だから(式1)に代入して，より

である．従って繰り返し用いれば

である．となる必要十分条件はとなることだから，(式6)よりこの条件は

である．

(ロ)

の面積 とする． まずの時

である．ただし簡単のため

とおいた． (式1)からとの関係は

である．繰り返し用いて(式8)から

である．したがって(イ)の条件 とあわせて，求める無限和は

だから，(式8)より は の

倍

である．

ハ

とおくと，(式1)より

であり，初項について， に正弦定理を用いて

だから，(式14)をくり返し用いて，

となるので，(イ)の条件より

である． として，

が求める極限値である．

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