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京都大学 前期 1963年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1963年 第4問 (解答解説)

📝 問題

三角形の辺上を動く点，，が，時刻にそれぞれ，，を出発し， ，，にむかってそれぞれ一定の速さで進んで，時刻に，，に達するものとする．

  1. その間の重心は動かないことを示せ．

  2. の面積の最小値はの面積の何倍か．

✏️ 解答解説

【解答】

$\triangle ABC$ の辺上を動く点 $D,E,F$ と不変な重心 $G$

図 1: の辺上を動く点 と不変な重心

とおく．

(イ)

はでを出発し，でに到達するから， の時刻 での座標は

となる．

従って の重心 とすると

となって，はじめの重心からうごかない．

(ロ)

(式3)から

だから，時刻 での の面積 はサラスの公式から

と書ける．よって は の時最小値で，この時 の面積 だから

である．つまりはの倍である．

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