京都大学前期 1962年第4問 (解答解説)

【解答】

与えられた関数

および

について考える．

新しく

に対してで常にとなるを探せば良い．

一階微分を計算すると

である．

さて，の解はそれぞれとだからグラフは図のようになる．

したがって，となるためにはがで接する（すなわちである）ことが必要で，

である．(式4)に代入すると

を得る．従っての符号に応じて増減表は以下のようになる．

表 1: の符号に応じたの増減表

このうち，の範囲でとなりうるのは

の方である．さらにの値に応じて場合分けする．



						極大

表 2: となるをとったときのの増減表（）

となるようがとれて，この時はでをとるから，題意を満たすが存在する．



				極大

表 3: のときのの増減表（）

この時はとなって，は又はで最小値をとる．を具体的に計算すると

だから，の時は，となるがとれて，題意を満たすが存在する．逆にの時，となって条件は満たさず不適である．以上からの時は題意のが存在する．

以上から求める条件は，

の 時 ， は 存 在 す る の 時 ， 存 在 し な い

である．