京都大学 前期 1962年 第3問 (解答解説)

【解答】

と の交点を ，との交点を とおく． の位置によって以下のように， が線分の内側にくるかどうかで2通りの位置関係がありうる．

以下，それぞれの場合において，直線 が の位置によらず定点 を通ることを示す．

以上 からいずれの場合も であり， 相似より

である．

一方，直線 と円の交点を として方べきの定理から

である． (式5),(式6)から

となる．この右辺はによらない一定値だから，も一定であり，従って点はによらない定点である．

【解説】

本問で用いた円の基本性質を確認しておく．

1. {\bf 円に内接する四角形の対角の和：} 円に内接する四角形 において，弧 に対する中心角を ，弧 に対する中心角を とすると，一周の角より である．円周角の定理から ， であるため，対角の和は となる．

2. {\bf 方べきの定理：} 円の2弦 が点 で交わるとき， と に注目する．弧 に対する円周角より ，対頂角より であるから， が成り立つ．したがって対応する辺の比から

   が得られる．