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京都大学 前期 1962年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1962年 第2問 (解答解説)

📝 問題

  1. ，は0でない与えられた実数とする． が-1でないどんな実数値をとっても，円は2つの定点を通ることを示せ．

  2. これらの円の中心の軌跡を，の方程式で表わせ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

2円 $x^2+y^2-ax=0$, $x^2+y^2-by=0$ とその交点を通る円

図 1: 2円 , とその交点を通る円

円の方程式

をについて整理すると

だから，これがなる任意ので成り立つには

である．これを解くと

だから，題意の円はこの二点を通る．

(2)

円の中心 とすると(式1)より

である．題意より から だから，を計算すると

である．これを(式5)に代入して

である． で両辺を割って

である．よって軌跡の方程式は

となる．

【解説】

2定点 $A,B$ を通る円の中心 $M$ の軌跡（線分 $AB$ の垂直二等分線）

図 2: 2定点 を通る円の中心 の軌跡（線分 の垂直二等分線）

(2)で求めた直線は，(1)で求めた定点をとして線分の垂直二等分線になっているはずである． これは検算として使える．実際にやってみよう．

の垂直二等分線の方程式は

となり，確かに(2)で求めた方程式と一致する．

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