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京都大学 前期 1961年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1961年 第2問 (解答解説)

📝 問題

定線分を頂角の二等分線とする任意の三角形をつくる． ただし辺は点をとおり，二辺，は等しくないようにとる． この三角形の外接円のにおける接線ととの交点をとすれば，点は定直線の上にあることを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

$AD$ を角の二等分線とし，$P$ を接線と $BC$ の交点とする座標配置

図 1: を角の二等分線とし， を接線と の交点とする座標配置

として一般性を失わない．A を原点とし，AD を 軸とする上図のような座標平面をとり，

とおく．

直線の方程式は

である．題意よりこれが を通るので

で，(式1)より で両辺わって

を得る．

の外心 とすると，外心の定義から であり，(式1)より

である．各辺からを引くと

である．第一式にをかけたものと第二式にをかけたものを辺々足し引きして

を得る．ただしであることを用いた．

従って外接円は となり， 点 A での接線 は

である．これと線分との交点 は(式3)より

よって P は定直線 上にあるから題意は示された．

【別解】

別解で用いる線分 $AP,AB,BP$ と二等辺三角形 $APD$

図 2: 別解で用いる線分 と二等辺三角形

, , とおく． 接弦定理よりだから であり，

および，

を得る．

また，を線分が二等分するから，

が成り立ち，

式式

となる． 従って

だから は 2 等辺三角形であり，P は AD の垂直2等分線上にある．

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