京都大学前期 1961年第1問 (解答解説)

つぎの問い(i)，(ii)，(iii)に答えよ．

(i)　実数で定義された多くの函数がある．命題「すくなくとも一つの実数値で，どの函数も0の値をとる」の否定命題をつくりたい．下にあげたことばのなかから適当なことばを選んで，つぎの否定命題の　　(イ)，(ロ)，(ハ)のなかに記入せよ．「　(イ)　実数に対し，そこで　(ロ)　の函数は0で　(ハ)　．」
1. (イ)　すくなくとも一つの，多くの，すべての，いろいろな，
2. (ロ)　多くとも一つ，すくなくとも一つ，ただ一つ，すべて，
3. (ハ)　ある，ない．
(ii)　一平面上で二つの三角形がのようにあたえられている．は，平行移動，回転移動．線対称移動のそれぞれ多くも一回つかえば，の位置に移しうる．これを簡明に示せ．
(iii)　を実係数の多項式とする．のグラフを軸に平行にだけ平行移動するとき，移動した曲線は，まえのの曲線と全体として完全には一致しないことを証明せよ．

【解答】

(i)

(イ) 全て \quad (ロ) 少なくとも \quad (ハ) ない

(ii)

$$\triangle ABC$ を $\triangle A'B'C'$ に重ねる移動の手順$

図 1: をに重ねる移動の手順

まず A が A’ に一致するように平行移動する．次に，A を中心に BC が B’C’ と同一線上にあるように回転移動する．これで

と

が一致しなければ，A を通り BC に垂直な直線を軸に線対称移動する．

(iii)

背理法で題意を示す．完全に一致するとすると任意の

に対して

が成立する．

を代入して

となる．これが任意の

で成立する，すなわち

についての恒等式になるから，

次の項を比較して

となる．しかしこれは

に反し矛盾する．よって背理法によって題意は示された．

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