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京都大学 前期 1961年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1961年 第3問 (解答解説)

📝 問題

同一平面上で，二点，をとおる直線の一方の側に二点，があって， ともにの中点からの距離にあり，はに垂直であるとする．

，，，

とおき，は直角でないとする．

  1. をとであらわせ．

  2. を示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

$M$ を原点とする配置と角 $\alpha,\beta,\theta$

図 1: を原点とする配置と角

を原点， を 軸， を 軸とする図のような座標をとる． するととなる． 対称性から が第 1 象限にあるとしてよく， 題意よりだからその座標は

となる．

(1)

に注目すると，だから，

なので，の倍角公式から

である．

(2)

を計算する．

だから，この分母分子を計算すれば良い．

, だから，個別に評価すると

および，から軸に下ろした垂足をとして

である．(式7),(式8)を(式6)に代入して

である．一方(式3)からを計算すると

である．(式9),(式10)より

だから題意は示された．

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