【解答】
座標平面で，, , () として良い．
の中点 の軌跡を考える．
対称性から，まず が 上を動く時を考える．
この時の座標はパラメータを用いて
とおける． の中点 とすると
となる．これはを始点とし，
と
の張る平行四辺形内の領域（境界含む）を動く．
これを図示すると下図のようになる．
図 1: 頂点 の座標を定めた三角形
そのほかの場合，
-
が 上の時 \
-
が 上の時
のの軌跡は対称性から以下のようになる（境界含む）．
図 2: がそれぞれ異なる辺上を動くときの中点の領域（境界を含む）
に応じて引ける線分は以上のつの場合で尽くされるから，が与えられた時，を含む領域の数が対応するの個数となる．
以上まとめて， の中点を として，三角形内の領域と引ける線分の数の対応は以下のようになる．
図 3: 三辺の中点 と通る線分の本数
【別解】
図 4: の3つの領域 への分割
最初から答えが推測できれば，[解答]の最後の図から出発して証明することもできる．
内を上図のようなつの領域に分割する．
-
（辺 をのぞく）の周及び内部を \
-
辺 を \
-
の内部を
図 5: 中央の領域にある を通る線分 と各頂点から への直線
が各々の領域をうごく時の線本数をしらべる．まず について考える．
と ， と ， と の交点を各々 とする．
を から， を から，反時計回りに が を通るようにうごかす．
すると は ， は と動く．
この時，はの中点より側に，の中点より側にあるから
が成り立つ．
が とうごく時，
は連続な値をとりながら正 負と変化するので， となる の組が少なくとも1つ存在する．このような組が2つ以上あると仮定すると，これらを として，この4点は平行四辺形をなすが， より矛盾する．よって となる がただ1つ存在する．同様に が と動く時にも1つずつ，計3つある．
同様に のときは2つ， のときは1つあるので，[解答]のようになる．
