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京都大学 前期 1963年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1963年 第1問 (解答解説)

📝 問題

  1. (イ)　方程式は実根をもつことを示せ．

  2. (ロ)　上の根を， とし，また

    とするとき，つねにが成り立つかどうかを調べよ．

    (イ)，(ロ)において，，，，，は任意の実数で，，の少なくも一方は0でないとする．

✏️ 解答解説

【解答】

(イ)

与えられた方程式

について考える．

判別式 として

より(式1)は実根を持つ．

(ロ)

(式1)の二つの解をとする． (式1)を変形すると

だから，となり，との位置関係は

となる．

$y=f(x)$ と $y=-b^2$ の比較．$f(a)=f(c)=-b^2\le 0$ から $\alpha\le a,c\le\beta$ がわかる

図 1: と の比較． から がわかる

与えられた数

との大小を比べよう．

について

まずについて(式8)から

だが，この正負は分子

の正負と等しい． の時は(式4)からだから

式

である．なら(式5)からはの二次係数が正の二次式で，の判別式として

よりである．よっていずれの場合もつまり

が成り立つ．

について

この時(式8)より

だが，この正負は分子

の正負と等しい． の時は(式4)からだから

式

である．一方なら(式5)からはの二次係数が正の二次式で， の判別式として

よりである．よっていずれの場合もつまり

が成り立つ．

以上(式14),(式20)から常にが成立する．

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