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京都大学 前期 1998年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1998年 第6問 (解答解説)

📝 問題

をを満たす定数として，曲線と軸と2直線，，で囲まれる図形を 軸のまわりに回転して得られる立体の体積をとする．

  1. を求めよ．

  2. の値がの範囲で変化するとき，の最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

$x=1$から$x=3$までの曲線$y=\log(x-a)$と$x$軸で囲まれる部分

図 1: からまでの曲線と軸で囲まれる部分

与えられた関数を

とする．

(1)

題意の体積は

である．

(2)

(式3)の両辺で微分して

である．ここでよりに注意しての増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

従っての時には最小となる．この時

だから とおくとで，(式5)より求める体積は

である．

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