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京都大学 前期 1998年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1998年 第2問 (解答解説)

📝 問題

とおく．

  1. は3以上の自然数で，ある自然数にたいしてはの倍数になっているとする． このときとのうち少なくとも一方はの倍数であることを示せ．

  2. 任意の自然数にたいしてがの倍数となるような自然数が存在することを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

とおく．

(1)

が の倍数 の時を考える． この時を考えると

である． が の倍数の時は題意は成立するから が の倍数でない時を考える．仮定より

と書ける．(式1)より

である．ここで は奇数で，が偶数だからも奇数である．よって である．又 から だから各項はいずれも でわり切れる．つまり は でわり切れる．

以上から題意は示された．

(2)

についての帰納法で示す．の時， とすれば成立する．

での成立を仮定すると (1)から 又は のいずれかは で割り切れるから，その割り切れる方をとって とすれば良く，でも成立する．

以上から題意は示された．

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