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京都大学 前期 1999年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1999年 第2問 (解答解説)

📝 問題

平面上に2定点，をとる． は正の定数として， 平面上の点がを満たすとき， 点の軌跡を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

座標平面上の2定点 $A(t, 0)$，$B(-t, 0)$ と動点 $P(x, y)$

図 1: 座標平面上の2定点 ， と動点

となるよう座標平面をとって とすると，

だから，

となるので，題意の式

に代入して，

となる．この領域を図示すると下図のようになり，は常に満たされるから，もとめる軌跡は楕円

である．

条件を満たす楕円と，$x^2+y^2\leq t^2+c$ の境界円

図 2: 条件を満たす楕円と， の境界円

【別解】

$AB=2t$, $PB=b$, $PA=a$, $\angle APB=\theta$

図 3: , , ,

とする． が一直線上にない時， に余弦定理を用いて，

であり，これは が一直線上の時 () にも成立する． 題意の式から

である．(式8)および に代入してを消去すると

を得る．

これが [解答] の座標平面で表すのは，原点を中心，長半径 , 短半径 の 楕円: である． この時 とすると で

等号成立は

より(式10)の第二式は常に成立する．したがってもとめる軌跡は

となる．

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