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京都大学 前期 2000年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2000年 第2問 (解答解説)

📝 問題

実数はの範囲を動くものとする．

  1. とのグラフが共有点をもつようなの範囲を求めよ．

  2. 2次方程式の複素数の範囲で考えた2つの解を ，(ただし)とする． このとき，の最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

曲線 $y=\sqrt{x}$ と定点 $\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$ を通る直線 $y=\dfrac{2}{a}x+1-\dfrac{1}{a}$

図 1: 曲線 と定点 を通る直線

与えられた関数を

について考える．

これらが共有点を持つ時，連立した

が について実数解を持つ．は代入するとわかるように解ではないから以下 とする．(式2)をについて整理すると

を得る．を微分すると

だから とおくと，

となるのでの増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

無限遠およびでの極限は

複号同順

だから，のグラフの概形は下図のようになる．

$y=f(x)$ のグラフと直線 $y=\dfrac{1}{a}$

図 2: のグラフと直線

これとが交点を持てば良いから，に注意して求める条件は

である．

(2)

与式を展開して整理すると

である．この判別式を とすると

だから， としてと合わせて

  1. の時， から，(式10)は実数解を持つ．\

  2. の時， から，(式10)は実数解を持たない．

となる．以下この二つを個別に考える．

の時

$0 < a \le t$ における $y=g(x)$ のグラフと2実数解 $0 \le \alpha \le \beta$

図 3: における のグラフと2実数解

(式10)の二つの実数解は，端点についておよび軸についてからいずれも非負である．従って で，

である．この最小値を求めれば良い．両辺で微分して

だから，この符号は

で決まる．の時は両辺が以上，の時は左辺が負で右辺が正となり不適だからの元で二乗して，

となる．しかしよりこれを満たすはない． 従って区間内でつまりは単調減少だから， 最小値はの時の

である．ただしの時はであることを用いた．

の時

この時はとなり(式10)は虚数解を持つ．(式10)は実数係数だからとなり，だから，解と係数の関係から

である．の区間での最小値はの時であり

である．これは(式24)と同じだから，はで連続である．

以上 から，求めるの最小値はの時の

である．

$0 < a \le 2$ における $a$ と $|\beta|$ の関係（$a=4-2\sqrt{2}$ で最小値 $\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}$）

図 4: における と の関係（ で最小値 ）

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