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京都大学 前期 2000年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2000年 第5問 (解答解説)

📝 問題

数列を次の式で定める．

このとき

  1. との関係を求めよ．

  2. を求めよ．

  3. (2)で求めた極限値をとするとき，を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた数列

について考える．

(1)

(式1)にに対する部分積分を用いてを変形すると

(2)

(式1)を今度はについて部分積分して

である．ここで右辺第二項について，においてだから

なので，これを同区間で積分すると

だから，(式10)より

である．右辺はでに収束するから，挟み撃ちの定理より

である．

(3)

(式14)よりである．従って(式10)より

である．従って とおくと，

となる．ここで(式4)より

だから，(式16)に代入して求める極限値は

である．

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