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京都大学 前期 2000年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2000年 第6問 (解答解説)

📝 問題

，は整数で，，とする． サイコロを回投げて出た目の和を5で割ったときの余りがに等しくなる確率をとする．

  1. をを用いて表せ．

  2. の最大値を，最小値をとするとき次の(イ)，(ロ)が成立することを示せ．

    1. (イ)　．

    2. (ロ)　任意の， に対し ．

  3. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

サイコロの目 $1 \sim 6$ を $5$ で割った余りの分類と確率

図 1: サイコロの目 を で割った余りの分類と確率

の中には 5でわって1あまるものが2つ，そのほかのあまりが1つずつある．

(1)

$n$ 回目の各余り $X_n$ から $X_{n+1} = 0$（$P_{n+1}(0)$）への状態遷移図

図 2: 回目の各余り から （）への状態遷移図

回目までの数字の合計をで割ったあまりを，回目に出た目をとおくと

である．

例えばについて考える．回目の時点での場合，それぞれの目が出ればよく，の場合はの二つの目が出れば良いから，

である．さらに確率の和がであることから

だから代入して

である．

他のについても同様に考えると，の値に応じてとなるは1つ()または2つ()あるから，の場合だけ二つ対応する目がある． 従って

である．ただしはで考える．個別に書き下せば

となる．

(2)-(イ)

題意より だから， について足して

だから，(式3)を代入して

である．

(2)-(ロ)

(式8)から

だから，をで置き換えた式と辺々引けば

となる．

(3)

(式13)から として，

が成り立つ．くり返し用いて，

である．この右辺はでに収束するから，挟み撃ちの定理より

である．(式11)よりこれが成り立つには

である．さらに題意より だから，はさみうちの定理より求める極限値は

である．

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