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京都大学 前期 2000年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2000年 第3問 (解答解説)

📝 問題

，とする．

  1. 長さ1の空間ベクトルに対し，，とおく． このとき次の不等式(＊)が成り立つことを示せ．

    1. (＊)　

  2. 不等式(＊)を満たす の範囲を図示せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

共通の始点をもつ3本の単位ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ と角 $\alpha, \beta$

図 1: 共通の始点をもつ3本の単位ベクトル と角

とおくと，より

である． から， は各々 と , と のなす角にひとしい．

従って与えられた不等式

の左辺をで表すと

左辺

より，(式4)は示された．ただし最後の等式で(式1)を用いた．

(2)

(式4)はについての二次式の形だから，について解くと

である．題意より から だから絶対値を外して

である．の範囲で場合分けして考える．

の時

$0 \le \alpha \le \dfrac{\pi}{3}$ のときの単位円上における角 $\beta$ の範囲

図 2: のときの単位円上における角 の範囲

この時は(式12)を満たすのは

である．

の時

$\dfrac{\pi}{3} \le \alpha \le \dfrac{2}{3}\pi$ のときの単位円上における角 $\beta$ の範囲

図 3: のときの単位円上における角 の範囲

この時は(式12)を満たすのは

である．

の時

$\dfrac{2}{3}\pi \le \alpha \le \pi$ のときの単位円上における角 $\beta$ の範囲

図 4: のときの単位円上における角 の範囲

この時は(式12)を満たすのは

である．

以上をまとめて，求める領域は

であり，図示すると下図の斜線部（境界含む）である．

$0\leq\alpha,\beta\leq\pi$で成り立つ領域（境界を含む）

図 5: で成り立つ領域（境界を含む）

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