京都大学 前期 1999年 第3問 (解答解説)

【解答】

(1)

と表すと， よりである． 与式の分母を払って

を示せば良い．具体的に左辺と右辺の差を計算すると，

だから示された．

(2)

与えられた不等式

について考え，この左辺をとおく．

は自然数列 の並びかえである． (1) から， に対して なら

だから，の値は と を入れかえた方が小さくなる． したがって， の順に と の大きさを比べ， ならそのまま， なる があるならそのうち が最小のものと を入れかえる作業をすることで，「」の時， が最小であることがわかる． よって

が成り立つ．

ここで上図の のグラフで面積比較して

である．ここで なる を定めると 右辺の積分は実行できて，

である．(式6)に代入して

である．ここで， だから，

となって題意は示された．

【別解】

は以下のような普通の代数的な変形でも得られる．