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京都大学 前期 1999年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1999年 第4問 (解答解説)

📝 問題

複素平面上で，の頂点を表す複素数を，，とする． ，，が次の3条件を満たすとする．

  1. 1.　は辺の長さの正三角形である

  2. 2.　

  3. 3.　は絶対値1で，虚数部分は正

このとき，次の問に答えよ．

  1. とおいて，とをを使って表せ．

  2. ，，の偏角を求めよ． ただしとする．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた条件

について考える．

(1)

重心を$G=1$とする正三角形の2つの向き（$B,C$の入れ替え）

図 1: 重心をとする正三角形の2つの向き（の入れ替え）

の重心を としてこれを表す複素数を とすると(式1)から，

だから，はを中心とする半径の円周上にある． の位置関係に応じて， は， を 回転させた複素数で， とおくと， から

より

複号同順

である．

(2)

(式2)にを代入すると

だから，とおける．

(式4)をに代入して

だから，

に注意してを(式6)に代入すると

を得る．係数部分をさらに変形すると積和の公式から

であり， として倍角公式を使うと

係数

となる．さらに三倍角の公式から

係数

となる．これを(式10)に代入して

を得る．これを(式1)に代入して

だから，絶対値を外して

となる．題意の条件

と(1)から

として良いから，(式18)の解は

である．この時(式16)に代入すると

だから，このうち(式1)の第4式の条件を満たすのは前者，つまり

の時である．

中心 $1$，半径 $1$ の円周上の3点 $A(\alpha), B(\beta), C(\gamma)$ と角 $\theta = \dfrac{2\pi}{9}$

図 2: 中心 ，半径 の円周上の3点 と角

この時(式19)および(1)から，

となり，

である．

【別解】

(2)

$z^3$が乗る2つの円と，虚部が正の交点

図 3: が乗る2つの円と，虚部が正の交点

のまま変形していく手段もある． に (1)の(式4)を代入し計算すると

だから，両辺絶対値をとって

となる． として(2)で使った関係式より

となる．以下は[解答]と全く同様に解ける．

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