京都大学前期 1999年第5問 (解答解説)

【解答】

(1)

だから両辺2乗して

である．とすると

となるが，より右辺は有理数，左辺は無理数となり矛盾する．従って

となる．第二式から又はである．

の時

(式3)の第一式からである．よってとなって，の時で右辺が有理数，左辺が無理数となり矛盾する．したがって

である．

の時

(式3)の第一式からでありとなって，と同様にが従う．

以上からいずれの場合もである．よって題意は示された．

(2)

題意を背理法で示す． , , がいずれも有理数と仮定すると，有理数を用いて，

とかける．

またの係数は実数ゆえである． (式5),(式7)からを消去すると

だから(式6)に代入して

を得る．及び (1)から

となるが，第一式，第三式よりとなり矛盾する．したがって背理法により題意は示された．

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