京都大学 前期 2001年 第5問 (解答解説)

【解答】

(イ) の両辺絶対値を取って

である．よって

とおける．これを(イ)，(ロ)に代入して

である．これを満たす の個数が である．

第1式から自然数 を用いて

とおける．したがって の個数は の数に他ならない． (式3)の第二式に代入して

である．

(1)

の時は(式6)を満たすの組み合わせは

の通りだから

である．

同様に考えての時は(式6)を満たすの組み合わせはより

だから，これを満たす組を数える．まず

の時は個の玉の間に本の棒を入れる場合の数に等しく

である．次に

において，だからこの場合の場合の数も同じく

だけある．よって

である．

(2)

とおく． から(式6)について

1. の時: \

2. の時: 対応するがただ1つあってとなる

のとり方は個別のが通りの値をとるから合計で通りある． よって となる場合の数は

である．

(3)

とおく．(式15)に代入して

である．(式8)よりだから漸化式を繰り返し用いて

である．

【別解】

(2)

漸化式は他の表現方法もあるのでそれを調べよう． についてかんがえる．

以上で全ての場合がつくされ， は排反だから

である．