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京都大学 前期 2002年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2002年 第5問 (解答解説)

📝 問題

，，を実数とする． とのグラフが相異なる3つの交点を持つという． このときが成立することを示し， さらにこれらの交点の座標のすべては 開区間に含まれていることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた二つの曲線を

とおく．の一階微分は

である．，が相異なる3交点を持つには，が異なる3実解を持つ，つまりが極大・極小を持ちその間にがある必要がある．そのためにはが異なる2実解を持つことが必要だからの判別式として

が必要である．

$y=f(x)$と$y=c$の3交点および極値の位置関係

図 1: との3交点および極値の位置関係

このもとで，の2実解を（）とおくと，

である．ここでのグラフにおいて

だから，求める条件はの解をとして

である．(式4)を代入して

である．よって題意は示された．

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