京都大学 前期 2002年 第2問 (解答解説)

【解答】

対称性から，，，（，）としてよい．すると各辺の長さは

である．とおくと

である．

(1)

の時(式4)より

である．の時はとなって不適だから である． この時だからさらに変形を続けて

である．から，で

である．よって題意は示された．

(2)

(式4)より

である．この右辺をとして簡単のためとすると，で，

である．これはの単調増加関数で，（を満たす）で最小値

をとる．次にで平方完成して

だからは示された．等号成立はかつの時で，だから，，つまりが正三角形の時である．

【別解】

上のようにおくと の外接円の半径はだから正弦定理から，

である．よってである．

(1)

を消してを計算すると

だから，

（）である．従ってのうち1つまたはつが正である．

のうち2つが負であるとすると，例えばが鈍角となってとなり，，に反するので，となりは鋭角三角形．

(2)

だから，

となる．

等号成立はかつの時で，だから

である．