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京都大学 前期 2002年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2002年 第3問 (解答解説)

📝 問題

は整数を係数とするの4次式とする． 4次方程式の重複も込めた4つの解のうち， 2つは整数で残りの2つは虚数であるという． このとき，，の値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた方程式

について考える．係数が整数だから2つの虚数解はお互いに複素共役であり，または解ではない． そこで2つの整数解を，2つの虚数解をとおく．解と係数の関係から

である．(式4)はさらに変形して(式3)より

題意よりが整数だから(式2)より

である．よって(式5)より

が従う．しかるに(式3)において が全て整数だから

である．

単位円$|z|=1$上の$z=e(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$と$\cos\theta=0,\pm\dfrac{1}{2}$を満たす点

図 1: 単位円上のとを満たす点

そこでとおくと，(式8)より

だが，このうちつまりの時はが実数になって不適なので

である．

以下，が(式10),(式12)の時に解と係数の関係(式2),(式5),(式7)を満たすかどうかを調べる．

の時

(式2),(式5),(式7)に代入して

となり，(式1)に代入して元の方程式は

であり，いずれもの判別式を満たし十分である．よって

である．

の時

(式2),(式5),(式7)に代入して

となり，(式1)に代入して元の方程式は

であり，いずれもの判別式を満たし十分である．よって

である．

以上から，複号同順として求めるの組は

である．

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