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京都大学 前期 2003年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2003年 第3問 (解答解説)

📝 問題

四面体は次の2つの条件

  1. ，，

  2. 4つの面の面積がすべて等しい

をみたしている．このとき，この四面体は正四面体であることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

四面体$OABC$

図 1: 四面体

点に対し，と定める．条件(i)から

である．

次に条件(ii)から，の面積をとして，

である．

(式1)より

とおけて，(式5)に代入すると

が従う．から，

となる．

(式5)での面積をで表すと

だから，平方根の中身が等しく，

である．ここでであり，よりだから

が正しい．

この時

となり，(式8)と合わせて四面体は各辺の長さが等しく，正四面体である．

【別解】

(式8)以下考えると，ベクトルの始点をから，，にとり直すことにより，

を得るから，(式8)と合わせて四面体は各辺の長さが等しく，正四面体である．

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