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京都大学 前期 2001年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2001年 第1問 (解答解説)

📝 問題

平面上の曲線上の点における接線を， を中心にして反時計回りに45回転して得られる直線をとする． とが， 相異なる3点で交わるようなの範囲を図示せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

$P(t,t^3)$での接線$l$上の点$(X,Y)$を反時計回りに$45^\circ$回転した直線$L$上の点$(x,y)$

図 1: での接線上の点を反時計回りに回転した直線上の点

とおく． における接線 は

である． 上の点 が反時計回りに回転して 上の点 にうつったとすると，

から

だから(式1)に代入して

である．

直線$L$と曲線$C:y=x^3$が相異なる3点で交わる様子

図 2: 直線と曲線が相異なる3点で交わる様子

これが と 異交点を持つ時，(式6)に を代入した

が について 実数解を持つ．したがって， 部を として が に 異実解を持てば良い．

において，まず二次の係数が非零かつの元で の判別式 として

である．

だから(式10)に代入して

である．よって点の動く範囲は下図太線部である．

3つの異なる交点を与える$P$の範囲（青い部分，両端を除く）

図 3: 3つの異なる交点を与えるの範囲（青い部分，両端を除く）

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