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京都大学 前期 2001年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 2001年 第4問 (解答解説)

📝 問題

空間内の正八面体の頂点とベクトルに対し， のときが成り立っているとする． このとき，と異なるすべてのに対しが 成り立つような点が存在することを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

正八面体と，$\overrightarrow{P_1 P_m}\ (m=2,3,4,5)$を法線ベクトルとする4平面で囲まれた領域$\alpha$

図 1: 正八面体と，を法線ベクトルとする4平面で囲まれた領域

題意の正八面体の一辺を とし， を始点とするベクトル の終点を とする．正八面体の対称性からの場合のみ考えれば良い．

任意の に対し

を満たす の存在範囲は，これらの成す角度がより大きいことと同じである． すなわち上図で を法線ベクトルとする 4平面で囲まれた部分（ とおく）である．

$P_1$を中心とする立方体の6分割と領域$\alpha$（正四角錐$P_1\text{-}ABCD$）

図 2: を中心とする立方体の6分割と領域（正四角錐）

また，題意から

であるから，をの内部のみ（境界除く）にすれば

となり，題意は示された．

【別解】

正八面体の中心$O$に対する$\overrightarrow{OX}=\vec{v}$と，点$X$に最も近い頂点$P_k$

図 3: 正八面体の中心に対すると，点に最も近い頂点

正八面体の中心を とし， となる点 をとる． の中で点 から最も近い点を とする． より

である． 各辺 以上だから 乗して

となる． から

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