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京都大学 前期 1998年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1998年 第1問 (解答解説)

📝 問題

直角三角形に半径の円が内接していて，三角形の3辺の長さの和と円の直径との和が2となっている． このとき以下の問に答えよ．

  1. この三角形の斜辺の長さをで表せ．

  2. の値が問題の条件を満たしながら変化するとき，この三角形の面積の最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

直角三角形の内接円と接点

図 1: 直角三角形の内接円と接点

となるよう，3頂点 を定め， とおく．内接円の中心 から各辺に下ろした垂線を とする．題意から

である．

(1)

題意より が正方形だから，であり， よって

である．これを(式1)に代入して

だから(式1)から斜辺の長さは

である．

(2)

(式4)とより

である．

の面積を とすると，

である．以下この最大値をもとめる． であり， の存在条件から

である． このもとで は の2次方程式

の より大きい2実解である．判別式 とするとの存在条件は

である．(式5)と合わせてこれを図示すると下図斜線部である． ただし境界は のみ含む． したがって求める最大値は

である．

判別式と根の条件が与える$(r,S)$の範囲

図 2: 判別式と根の条件が与えるの範囲

【別解】

を完全に消去する方向性もあり得る． 内接円と三角形の関係から，をふた通りで表すと

だから，(式1)より

である．(1)よりだからは

の二解である．よって条件は

で， となるからが

である．

$S(r)=r(1-r)$ のグラフと最大値

図 3: のグラフと最大値

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