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京都大学 前期 1997年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1997年 第1問 (解答解説)

📝 問題

単位円上の点をとり， 定点からへ線分を引き， その線分のの側の延長線上に点をとなるようにとる． ただし，は線分の長さを表す．

  1. ，とおいて，をで表せ．ただし，は原点である．

  2. 点が円上を動くとき，点の描く軌跡を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

単位円 $C$ 上の点 $P$, 定点 $A$ と直線 $AP$ 上の点 $Q$ の様子

図 1: 単位円 上の点 , 定点 と直線 上の点 の様子

(1)

題意の条件

について考える．するとである．

とおく．の時は で(式1)からだから

である．

そこで以下の時を考える． に余弦定理を用いて，

である． 第1式から () だから第2式に代入して，

となり，から である．

以上から，任意のに対して

である．

(2)

(1)からは上にある．さらに直線の通過領域内にあれば良いから， から円に引いた二本の接線

で囲まれる劣弧の部分で，

である．これを図示すると下図の太線部分（両端を含む）である．

点 $Q$ の軌跡：半径 2 の円の $1 \le x \le 2$ の弧

図 2: 点 の軌跡：半径 2 の円の の弧

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