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京都大学 前期 1997年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1997年 第4問 (解答解説)

📝 問題

  1. であるとき，次の不等式を示せ．

  2. を示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

題意の不等式

について考える．左辺第二項でと置換するとで

だから，(式1)は

を示せば良い．(式4)の左辺，右辺は下図の斜線部の面積である．

台形 $ABCD$（左）と曲線下の図形 $ABCD$（右）の面積の比較

図 1: 台形 （左）と曲線下の図形 （右）の面積の比較

ここでのグラフはではは上に凸だから面積について

図形台形

で，これが(式4)に他ならない．よって題意は示された．

(2)

(式4)で とすると，これはをみたすので，

だから，について足し合わせると

である．左辺の積分はであり，右辺はの項はだから

である．

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