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京都大学 前期 1997年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1997年 第3問 (解答解説)

📝 問題

2つの放物線と で囲まれた部分の面積が 第1の放物線上の点における接線によって2等分されている (すなわち，の上側にある部分の面積と下側にある部分の面積が等しい)．

  1. をで表せ．

  2. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

放物線 $C_1, C_2$ に挟まれた淡青の領域 $S_1$ と，接線 $L$ と $C_2$ で囲まれる青緑の領域 $S_2$

図 1: 放物線 に挟まれた淡青の領域 と，接線 と で囲まれる青緑の領域

与えられた二つの放物線を

とする．上の点における接線は

である．との交点の座標をとする． との交点の座標はとおいてである．

とで囲まれた部分の面積，とで囲まれた面積とすると，題意から

である．はそれぞれ

および

となる．およびこれらがの解であることから

だから(式9)に代入して，

である．

(式7),(式12)を(式3)に代入して

である．両辺0以上から乗して，

である．

(2)

(式17)を変形して求める極限値は

である．

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