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京都大学 前期 1997年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1997年 第6問 (解答解説)

📝 問題

曲線の における接線と 軸，軸の囲む3角形の面積をとする．

  1. の関数として， を求めよ．

  2. はある1点で最小値をとることを示せ．また，を示せ．

  3. を示せ．また，を示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

$y=\cos x$の$x=t$における接線と三角形$OAB$

図 1: のにおける接線と三角形

のにおける接線は より

である．これと軸との交点として

である．ただしからであることに注意した．

(1)

(式2)より，求める面積は

の面積

である．

(2)

$y = S'(t)$ のグラフと零点 $t_0$ の様子

図 2: のグラフと零点 の様子

(式4)をで微分して

である．区間ではは単調増加，は単調減少だから，とあわせて は単調増加である．これと

および及びが連続であることから中間値の定理より，

なるが存在しての増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

したがって，はで最小値をとる．以上から示された．

(3)

及びから(式5)より

である．(式4)から

だから を代入して

式式

となる． ここで とおくと一階微分は

となる．よって(式10)に注意しての増減表は以下のようになる．

表 2: の増減表

したがって

である．以上から題意は示された．

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