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京都大学 前期 1996年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1996年 第6問 (解答解説)

📝 問題

ガソリンをkg積んだ状態で時速kmで走るとき， 毎時kgのガソリンを消費する車がある． ここでは正の定数である． この車を用いて100km離れた地点へ一定速度で行くとき， ガソリンの消費量を最小にするには， 最初に積むガソリンの量と走行速度をどのようにすればよいか． ただし， ガソリンが無くなれば車は直ちに停止するものとする．

✏️ 解答解説

【解答】

題意より速度 は一定で 走るのに要する時間は である． はじめにガソリンが あったとする． 題意からガソリンの量について微分方程式

が成り立つ．積分して初期条件より

である．従ってから目的地に到着するまでで消費する総ガソリン消費量 は

である．以下これを最小にするを求めれば良い．

$x_0$ に対する消費量 $Y(x_0)$ の直線と $Y \le x_0$ の許容領域

図 1: に対する消費量 の直線と の許容領域

まずを固定してを動かす． から は 1次係数正の の1次式，つまりについて単調増加である．題意より目的地に辿り着くためにはガソリン消費量が最初のガソリン量より少くないといけないから

である．がの単調増加関数であることから，を最小にするはである． この時(式7)より

である．

速度 $v$ に対する最小消費量 $Y(v)$ のグラフ

図 2: 速度 に対する最小消費量 のグラフ

次にを動かしての最小値を求める．両辺で微分すると

だから増減表は以下のようになる．

表 1: の増減表

従っては で最小値をとり，この時(式8)よりは

である．

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