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京都大学 前期 1996年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1996年 第1問 (解答解説)

📝 問題

平面の原点を中心とし半径1の円上に定点をとる． 同じ円上の点に対し， 平面上の点を で定める． ただし，はとの内積である． このとき

  1. であることを示せ．

  2. となる点をすべて求めよ．

  3. 点が円を1回まわるとき，点は同じ円を2回まわることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

単位円 $C$ と点 $A, X$

図 1: 単位円 と点

とおいて良い． 点の位置ベクトルを小文字でと表す．

(1)

題意の関係式

に座標を代入すると

だからこのベクトルの大きさは

より である．

(2)

の時，(式3)より

だから，となる． すなわち は直線と円の交点のどちらかである．

$\vec{y} = -\vec{a}$ を満たす点 $X$ と像 $Y$

図 2: を満たす点 と像

(3)

点 $X$ の偏角 $\theta$ と点 $Y$ の偏角 $\pi + 2\theta$

図 3: 点 の偏角 と点 の偏角

とおくと(式3)より

だから がでうごくとき は円を2回まわる．

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