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京都大学 前期 1996年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1996年 第5問 (解答解説)

📝 問題

平面上の正三角形を考える． の重心は原点にあり，ベクトルの長さは1とする． の内部または辺上の点に対し， 3頂点，，から1点を等確率で選び， この頂点との中点をとする． 次に点に対して同様の操作を行い得られた点をとし， 以下この操作を繰り返して， 点を作る． ベクトルの長さの2乗の期待値をとおく．

  1. をベクトルの長さを用いて表せ．

  2. 選んだ頂点がのとき， ベクトルをベクトルと，， を用いて表せ．

  3. が原点のときを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

正三角形 $\triangle ABC$（一辺 $\sqrt{3}$，外接円半径 $1$）と点 $P_1$

図 1: 正三角形 （一辺 ，外接円半径 ）と点

一回目に選んだ頂点 とすると，題意より

であり，両辺二乗して

だから，として期待値を計算すれば

である．

(2)

点に対してを始点とする位置ベクトルを小文字で と表す． 題意から，

だからくり返し用いて，

である．

(3)

の時(式9)より

だから， を， となるよう定めると，

である．ここで に対して，が一辺の正三角形だから

だから の期待値 は

である．

従って(式14)の第二項 の期待値 は，

だから(式14)より求める期待値は

である．

【別解】

(3)

(1)より である． ここで の時，

であり，題意より

を(式19)に代入して

だから，初項と合わせて

である．

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