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京都大学 前期 1996年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1996年 第2問 (解答解説)

📝 問題

空間の3点，，と， で表される平面上の直線の上を動く点を考える． 点を通り，直線に垂直な平面をとする． のとき， 4面体と平面が交わってできる図形の面積の最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

四面体 $ABCP$ と平面 $\alpha$ による切断面 $\triangle ADE$

図 1: 四面体 と平面 による切断面

はと垂直でを通るので

である．との交点をとすると(式1)とを連立して となる．

したがって， の時はと，とは互いにに関して反対側にあり， 線分はと交点を持つ．

鉛直面における相似（左）と水平面 $z=0$ における相似（右）

図 2: 鉛直面における相似（左）と水平面 における相似（右）

は軸と並行だから，の相似から

である．同様にについての相似から

である．従って四面体と平面が交わってできる図形の面積は

式式

を満たす．等号成立は の時で， この時である． 以上から求める最大値は

である．

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