京都大学 前期 1995年 第2問 (解答解説)

【解答】

与えられた条件

について考える．

題意の条件

が成り立つ時，がで割って余る，すなわち

であることを示す．

(式3)においてが素数だから左辺も素数である． ，（）から， が必要である．(式3)に代入すると

だから(式4)は

である．これを個別に検討する．

から は でわりきれる．よって題意は示された．

【別解】

特にはフェルマーの小定理より

だから

と一瞬で求まる．

【解説】

フェルマの小定理の証明をいくつか紹介する． まず一番有名なのはとをで割った組が等しくなることを用いて

とする方法である．

別の手段としてについて数学的帰納法を使う方法もある． 帰納法も二つ有名な変形方法があり，

とする方法と二項定理より

だから

とする方法がある．