京都大学 前期 1994年 第2問 (解答解説)

【解答】

与えられた数列

について考える．以下 とする．

(1)

(式1)の漸化式から法を3として だから，

である．

(2)

の定義から

である． (1)から は の周期数列だから， (式4)の右辺にはにかかわらずこれらの要素が1つずつ入っているので，

だから(式4)に代入して

である．

(3)

(1)より だから(式6)は

である．以下，題意の不等式

を数学的帰納法で示す．

まず の時，具体的にからを計算すると

より(式8)は成立する．

そこで () での成立を仮定すると，(式8)の両辺にを足して(式7)より

より で成立するなら でも成立するから， でも成立する．

以上から数学的帰納法により(式8)は示された． \quad