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京都大学 前期 1994年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1994年 第6問 (解答解説)

📝 問題

が0からまで変化するとき， 点の描く曲線を考える．

  1. この曲線の全長を求めよ．

  2. この曲線のの部分の長さが となるようにを定めるとき， 極限値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

曲線 $C$ の概要と部分弧（$0 \leqq \theta \leqq \theta_n$）

図 1: 曲線 の概要と部分弧（）

とおき，題意の軌跡

について考える．

(1)

(式1)の両辺をで微分すると

だから，増減表は以下のようになる．

表 1: における増減表

点 $P(\theta)$ の描く軌跡（破線部は $\pi < \theta \leqq 2\pi$）

図 2: 点 の描く軌跡（破線部は ）

従って曲線の全長は

である．

(2)

(式6)から，題意の条件は

である． から絶対値を外して

である． から両辺平方根をとってをかけると

である．ただし， で であることを用いた．

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