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京都大学 前期 1994年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1994年 第5問 (解答解説)

📝 問題

，，の3人が色のついた札を1枚ずつ持っている． はじめに，，，の持っている札の色はそれぞれ赤，白，青である． がさいころを投げて，3の倍数の目が出たらはと持っている札を交換し，その他の目が出たらはと札を交換する． この試行を回繰り返した後に，赤い札を，，が持っている確率を，それぞれ，，とする．

  1. のとき，，，を，，で表せ．

  2. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意より の確率でAとBが， の確率でAとCが札を交換する．

(1)

赤い札を持つ人の，1回の交換による状態遷移

図 1: 赤い札を持つ人の，1回の交換による状態遷移

上の遷移図から求める漸化式は

である．

(2)

から を消去して(式1)に代入して

である．第一式からだから，これを第二式に代入して

である．

これと から等比数列の公式より

だからをで書き換えて

である．

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