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京都大学 前期 1993年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1993年 第5問 (解答解説)

📝 問題

を自然数とする． さいころを回投げて回以上偶数の目が出る確率をとするとき， であることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

偶数の出現回数による確率の分割と対称性

図 1: 偶数の出現回数による確率の分割と対称性

回サイコロを投げた時に 回以上偶数が出る確率を ， 回偶数が出る確率を とすると，対称性から回以上奇数が出る確率も だから

が成り立つ．またの定義より

式

である．ここでは

と書けるから(式2)より

である．

以下，

が全ての で成立することを帰納法で示す．

まず の時は成立するから での成立を仮定する． の時を考えると

仮定

から， でも(式5)は成立する．以上から帰納的に(式5)が成立するから(式4)より

である．よって題意は示された．

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