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京都大学 前期 1993年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1993年 第1問 (解答解説)

📝 問題

とする． 双曲線に点から2本の接線を引いて， それぞれの接点を，とするとき， の面積を最小にするようなの値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

双曲線への2本の接線と三角形 $PAB$．青緑の部分が $\triangle PAC$

図 1: 双曲線への2本の接線と三角形 ．青緑の部分が

ABと軸の交点Cとすると，対称性から

である．双曲線上の点 () での接線は

だから，これが を通る時

である．

の面積 とすると

であり，(式3)と から だから， に代入して，より

である．これを(式4)に代入して

である．以下この最小値を与えるを求めれば良い． 平方根の中をとおく：

と， が最小の時， つまり も最小である．この分母を とおくと

より，の増減表は以下のようになる．

表 1: と の増減表

よって の時に は最小である． この時 から である．

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