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京都大学 前期 1993年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1993年 第2問 (解答解説)

📝 問題

点を中心とする半径1の円に含まれる2つの円，を考える． ただし，の中心はの直径上にあり，は点で，または点でそれぞれと接している． また，の半径をそれぞれ，とする． 上の点から，に1本ずつ接線を引き，それらの接点を，とする．

  1. とするとき，はによってどのように表せるか．

  2. を上で動かしたときのの最大値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

円 $C$ および $C_1, C_2$ と接線 $PQ, PR$

図 1: 円 および と接線

(1)

点を原点，となる座標系をとる． の中心を とすると，題意よりこれらの座標は であり，円の方程式は

である．

の時だから

である． に三平方の定理を用いて，

だから より平方根をとって

である．

(2)

(式5)のでの最大値を考えれば良い． コーシー・シュワルツの不等式より

で，等号成立は より

である．より(式11)を満たすは必ず存在するから(式7)の等号が成立するがある．従って求める最大値は

である．

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